في هذا المقال ، سوف نتعمق في الحديث عن حساب الانحراف من البيانات المبوبة ، ليس هذا فقط بل سوف نذهب في الحديث عن الانحراف المعياري ، وعلاقته بمقاييس التشتت المختلفة ، وما هو تعريف مقاييس التشتت في الاحصاء ، وما مدي اعتمادية حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة في دقة النتائج المرجو من التحليل الاحصائي ، وما هي الطرق الاخرى لحساب الانحراف المعياري ، كسحاب الانحراف المعياري باستخدام وسط فرضي ، وحساب الانحراف المعياري للبيانات الغير المبوبة ، وما اهم خصائص الانحراف المعياري ، وما يتصف به من صفات ، وما هي ابرز عيوبه ، وكيفيه حسابه حتي تعتمد نتائجه بطريقة سليمة ومباشرة في التحليل الاحصائي ، حتي يتم الاعتماد عليه في ثبوت قاعدة معينة أو تعديل معدل الانتاجية في المجال التجاري كل هذا سوف يتم مناقشته في هذا المقال .
* ما هي مقاييس التشتت وكيفية حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة؟
أن التشتت لمجموعة من القيم أو المفردات المقصود منها هو التباعد أو الاختلاف بين هذه القيم فيما بينها ، وعندما تكون الفروق كبيرة بين القيم ، يكون التشتت قليلا ، وبناء علي ذلك من الممكن اعتبار ان التشتت القيم مقياس مقايس لدرجة تركز القيم ودرجة التقارب من بعضها البعض ، او درجة تباعدها من بعضها البعض ، وان مقاييس التشتت كثيرة ، وتختف عن بعضها من حيث الدرجة وكيفية حسابها ، وأبرز مقاييس التشتت في الاحصاء ، يوجد أربع مقاييس للتشتت ،وهي :-
١- المدي
ويعرف المدي بأنه الفرق بين أكبر قيمة واصغر قيمة للبيانات ويبين الحدود التي بداخل هذه البيانات يمكن أن تقع اي قيمة
٢- الانحراف المتوسط
يعرف الانحراف المتوسط لمجموعة من المفردات ، بأنه متوسط الانحرافات عن قيمة متوسطة ، مع اهمال الاشارة ، او يمكن القول بأنه متوسط الانحرافات المطلقة عن قيمة متوسطة ، ومن الممكن أن يكون الانحراف مأخوذا عن الوسط الحسابي ، فعندما يحث ذلك يمكن حساب القيم عن الوسط ، وممكن ان يكون الانحراف مأخوذا عن الوسيط الحسابي ، فيحسب انحراف القيم عن الوسيط ، والمياس الاكثر شيوعا هو انحراف القيم عن الوسط الحسابي ويكون مجموع هذه الانحرافات .
٣- الانحراف الربيعي
يعرف على أنه أحد مقاييس التشتت ويعتمد علي استخدام الأقل والاعلى ويمكننا حسابه بقسمتهم علي 2 ، او كما يعرف بأن الانحراف الربيعي هو نصف المدي الربيعي
٤- الانحراف المعياري
هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ويعتبر هو اهم مقاييس التشتت ، وادقها وأكثرها انتشارا في التحليل الاحصائي مدى التبعثر الإحصائي، أي أنه يدل على مدى امتداد مجالات القيم ضمن مجموعة البيانات الإحصائية
بعد ان تطرقنا للحديث عن مقاييس التشتت ، وانواعها ، لمعرفة كيفية حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة لابد اولا من معرفة ما هو قانون الانحراف المعياري وكيفية تطبيقه .
* ما هو الانحراف المعياري وما هو قانون حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة؟
يعرف قانون الانحراف المعياري بأنه الاكثر استخداما في الاحصاء ويتم استخدامه لقياس التشتت في الاحصاء ،لاه من أكثر واقوي قوانين التشتت وضوح لأنه لا يستثني أي قيمة ويطلب بجميع هذه القيم التي يتطلب حساب المدي الخاص بها ، لذلك ها ما يميز الانحراف المعياري عن غيره من المقاييس الاخرى .
ويعتبر من اقوي القوانين في قياس مدي التشتت بين القيم ، كما أنه واسع الانتشار علي مستوي عالي في الاحصاء الرياضي والتطبيق عليه ، ويعتبر القانون هو الجذر التربيعي للمتوسط الحسابي لمربعات القيم ، وتمتع هذا القانون بالكثير من المميزات علي سبيل المثال :-
١- يتعامل مع القيم الموجبة ، ويحدث ذلك بسبب التربيع داخل القانون
٢- ويتم قياسه بالمتوسط الحسابي لا يتأثر بالتغيرات التي تحدث للعينة ، أي لا يتغير
٣- يعتبر من أفضل مقاييس التشتت من حيث الدقة ، برغم وجود الكثير من الصعوبات في كيفية حسابه ، كما أنه يتأثر بالقيم المتطرفة بدرجة كبيرة لكن مع كل ذلك يعتبر مقياس التشتت الأفضل
يتم دخوله في حساب ثلاثة أنواع من القيم :-
١- الاحصائيات الفردية : وهو التي يوجد بها ملحوظة واحدة فقط .
٢- الاحصائيات المنفصلة : وهي التي يتكون من مجموعتين من البيانات ، وتمتاز كل مجموعة عن الاخرى ، حيث المجموعة الاولي تحتوي علي قيم ، والمجموعة الثانية :تحتوي علي معلومات عن هذه القيم
٣- واحصائيات توزيع الترددات: تكون عبارة عن ملاحظات القيم والترددات المقابلة لها
ويرمز للانحراف المعياري بالرمز الاغريقي سيجما .
ويتأثر الانحراف المعياري بعدة عوامل منها القيم المتطرفة أو المتباعدة، ويرتبط أيضًا بالمتوسط الحسابي للقيم، ولكنه لا يتأثر بالتغيرات التي تظهر حديثًا على العينة، والانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، ويعتبر الانحراف المعياري في أبسط صوره هو متوسط مجموع جميع النقاط أو العينات داخل مجموعة معينة، والانحراف المعياري يساعد المتخصصين على معرفة ما إذا كانت البيانات تحتوي على علاقة رياضية أم لا كالمنحنيات وغيرها، ومن أهم استخدامات الانحراف المعياري هو استخدامه بشكل كبير في كل عمليات الاستثمار والتجارة الكبيرة.
ويكون قانون الانحراف المعياري بالعربي علي النحو الاتي :-
الانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين
التباين = ( مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ) / ( عدد القيم – 1).
لذلك فان قانون الانحراف المعياري بالعربي يعتمد على التباين
* كيفية حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة؟
اذا كانت البيانات موضوعة علي صورة جدول تكراري فإنه يمكن حساب الانحراف المعياري باستخدام العلاقة التالية :
حيث س : ترمز إلي تكرار الفئات
ك: ترمز غلي التكرار المناظر لمركز الفئة
مج ك : مجموع التكرارات
ولتطبيق هذا القانون في الانحراف المعياري ل 50 طالب نريد حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة ليهم
الفئات
التكرار
مركز الفئات
مركز الفئات *التكرار (س*ك)
س2 *ك
25 –
2
30
90
2700
35-
8
40
320
12800
45-
20
50
1000
50000
55-
10
60
600
36000
65-
6
70
420
29400
75-
2
80
160
12800
85-
1
90
90
8100
المجموع
50
—
2680
151800
فان حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة يساوي
= 12.77 درجة
